Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (2024)

Du fragst dich, welche Bedeutung Matrizen eigentlich haben und wie du mit ihnen rechnen kannst? Dann bist du hier genau richtig. Eine schnelle Erklärung dazu findest du in unserem Video

Inhaltsübersicht

Matrizen einfach erklärt

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(00:13)

Was ist überhaupt eine Matrix? Matrizen bestehen aus Zahlen, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. Man spricht dann von einer (m x n) – Matrix bzw. einer Matrix der Dimension (m x n).

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (1)

Dabei steht bei den Matrixeinträgen Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (2) der Index i für die Zeile und j für die Spalte der Matrix, in der sich der Eintrag befindet.

Im Prinzip ist eine (m x n) – Matrix eine vereinfachte Darstellung eines Linearen Gleichungssystems (LGS) mit m Gleichungen und n Variablen. Wenn du dann ein LGS als Matrix darstellen möchtest, verwendest du für die Matrixeinträge einfach die Koeffizienten des LGS.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (3)

Dieses LGS kannst du also mit Matrizen schreiben:

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (4)

Dabei hat die Matrixschreibweise exakt dieselbe Bedeutung wie das LGS.

Matrix Mathe

Besondere Matrizen sind zum Beispiel:

  • Quadratische Matrix: m = n
  • Diagonalmatrix: Enthält nur Nulleinträge – außer auf der Hauptdiagonalen.
    Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix, die auf der Hauptdiagonalen beliebige reelle Zahlen und ansonsten nur Nulleinträge enthält.

    Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (5)

  • Nullmatrix: Jeder Eintrag einer Nullmatrix ist Null.
    Die Nullmatrix Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (6) hat die Dimension (n x n) und ist das neutrale Element der Matrizenaddition.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (7)

  • Einheitsmatrix:Die Einträge der Hauptdiagonalen sind gleich 1, alle anderen Einträge sind gleich 0.
    Die Einheitsmatrix Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (8) ist eine Diagonalmatrix der Dimension Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (9) und sie ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (10)

  • Transponierte Matrix: Die Transponierte Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (11) der Matrix Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (12) erhältst du durch Vertauschen von Zeilen und Spalten. Das heißt, die erste Spalte von Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (13) ist die erste Zeile von Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (14), die zweite Spalte von Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (15) ist die zweite Zeile von Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (16) und so weiter.
    Viele Eigenschaften wie die Spur, die Determinante, die Eigenwerte und der Rang einer Matrix bleiben unter der Transponierung unverändert (invariant).

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (17)

  • Symmetrische Matrix: Wenn Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (18) gilt, so ist Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (19) (und damit auch Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (20)) symmetrisch.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (21)

Matrizenrechnung

Doch natürlich willst du auch Matrizen berechnen können.

Matrizen addieren und subtrahieren

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(01:29)

Zwei Matrizen A undB kannst du nur dann addieren oder subtrahieren, wenn beide Matrizen gleich groß sind. Als Ergebnis erhältst du erneut eine Matrix C derselben Größe. Ihre Einträge Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (22) entstehen aus den Summen bzw. Differenzen der beiden entsprechenden Einträge aus A und B.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (23)

Dann gilt:

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (24)

und

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (25)

Die beiden Matrizen A und C kannst du nicht addieren – wegen der unterschiedlichen Größen ist das nicht möglich.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (26)

Die Matrizenaddition ist außerdem kommutativ und assoziativ.

Matrix mal Zahl

Du kannst eine Matrix A mit jeder beliebigen Zahl r (auch Skalar genannt) multiplizieren, indem du jeden Eintrag von A einzeln mit r multiplizierst.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (27)

Matrix mal Vektor

Damit du eine Matrix-Vektor-Multiplikation zwischen der Matrix A und dem Vektor v durchführen kannst, muss die Spaltenanzahl von A mit der Länge von v übereinstimmen. Du kannst eine (m x n)-Matrix also mit jedem n-dimensionalen Vektor multiplizieren. Als Ergebnis erhältst du dann einen m-dimensionalen Vektor.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (28)

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (29)

Erläuterung der Rechung:

Da A so viele Spalten hat wie v Einträge, ist die Multiplikation hier möglich. Und weil A zwei Zeilen hat, erhältst du als Ergebnis einen zweidimensionalen Vektor. Um den ersten Eintrag des Ergebnisvektors zu erhalten, betrachtest du die erste Zeile von A und multipliziert den ersten Eintrag dieser Zeile mit dem ersten Eintrag von v, den zweiten Eintrag der ersten Zeile von A mit dem zweiten Eintrag von v und dasselbe mit dem dritten Eintrag der ersten Zeile von A und dem dritten Eintrag von v. Die Summe dieser drei Produkte ergibt den ersten Eintrag des Ergebnisvektors. Den zweiten Eintrag des Ergebnisvektors erhält man, wenn man für die zweite Zeile von A analog vorgeht.

Weitere Beispiele:

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (30)

Matrix mal Matrix

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(02:38)

Zwei Matrizen kannst du genau dann miteinander multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Immer dann also, wenn Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (31) und Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (32). Du erhältst dann als Ergebnis eine Matrix der Dimension (m x k).

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (33)

A hat genauso viele Spalten wieB Zeilen, also ist die Matrizenmultiplikation Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (34) durchführbar. Weil A zwei Zeilen und B zwei Spalten hat, erhältst du eine (2 x 2)-Matrix als Ergebnis.

Für den ersten Eintrag der ersten Spalte der Ergebnismatrix betrachtest du die erste Zeile von A und die erste Spalte von B. Dann gehst du vor wie bei der Matrix-Vektor-Multiplikation – du rechnest also „Zeile mal Spalte“.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (35)

Den ersten Eintrag der zweiten Spalte erhältst du, wenn du die erste Zeile von Aund die zweite Spalte von B betrachtest und die gleichen Rechenschritte durchführst.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (36)

Um den zweiten Eintrag der ersten Spalte der Ergebnismatrix zu berechnen, multipliziere die zweite Zeile von A mit der ersten Spalte von B.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (37)

Und für den zweiten Eintrag der zweiten Zeile der Ergebnismatrix multipliziere die zweite Spalte von A mit der zweiten Spalte von B.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (38)

Das ist das Ergebnis der Matrizenmultiplikation Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (39).

Du solltest dabei aber immer bedenken, dass die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Beispielrechnungen:

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (40)

Die Division, wie wir sie aus den reellen Zahlen kennen, ist mit Matrizen übrigens nicht möglich. Statt durch eine Matrix A zu dividieren, musst du mit ihrer Inversen Matrix Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (41) multiplizieren (falls es diese gibt).

Determinante

Jetzt kennst du dich mit der Bedeutung und der Berechnung von Matrizen aus. Für deine nächste Prüfung könnte es aber auch sehr hilfreich sein, dir unseren Artikel über Determinanten von Matrizen anzusehen.

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Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (2024)
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Author: Jeremiah Abshire

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