Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (2024)

Du fragst dich, welche Bedeutung Matrizen eigentlich haben und wie du mit ihnen rechnen kannst? Dann bist du hier genau richtig. Eine schnelle Erklärung dazu findest du in unserem Video

Inhaltsübersicht

Matrizen einfach erklärt

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(00:13)

Was ist überhaupt eine Matrix? Matrizen bestehen aus Zahlen, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. Man spricht dann von einer (m x n) – Matrix bzw. einer Matrix der Dimension (m x n).

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (1)

Dabei steht bei den Matrixeinträgen Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (2) der Index i für die Zeile und j für die Spalte der Matrix, in der sich der Eintrag befindet.

Im Prinzip ist eine (m x n) – Matrix eine vereinfachte Darstellung eines Linearen Gleichungssystems (LGS) mit m Gleichungen und n Variablen. Wenn du dann ein LGS als Matrix darstellen möchtest, verwendest du für die Matrixeinträge einfach die Koeffizienten des LGS.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (3)

Dieses LGS kannst du also mit Matrizen schreiben:

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (4)

Dabei hat die Matrixschreibweise exakt dieselbe Bedeutung wie das LGS.

Matrix Mathe

Besondere Matrizen sind zum Beispiel:

  • Quadratische Matrix: m = n
  • Diagonalmatrix: Enthält nur Nulleinträge – außer auf der Hauptdiagonalen.
    Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix, die auf der Hauptdiagonalen beliebige reelle Zahlen und ansonsten nur Nulleinträge enthält.

    Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (5)

  • Nullmatrix: Jeder Eintrag einer Nullmatrix ist Null.
    Die Nullmatrix Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (6) hat die Dimension (n x n) und ist das neutrale Element der Matrizenaddition.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (7)

  • Einheitsmatrix:Die Einträge der Hauptdiagonalen sind gleich 1, alle anderen Einträge sind gleich 0.
    Die Einheitsmatrix Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (8) ist eine Diagonalmatrix der Dimension Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (9) und sie ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (10)

  • Transponierte Matrix: Die Transponierte Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (11) der Matrix Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (12) erhältst du durch Vertauschen von Zeilen und Spalten. Das heißt, die erste Spalte von Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (13) ist die erste Zeile von Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (14), die zweite Spalte von Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (15) ist die zweite Zeile von Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (16) und so weiter.
    Viele Eigenschaften wie die Spur, die Determinante, die Eigenwerte und der Rang einer Matrix bleiben unter der Transponierung unverändert (invariant).

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (17)

  • Symmetrische Matrix: Wenn Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (18) gilt, so ist Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (19) (und damit auch Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (20)) symmetrisch.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (21)

Matrizenrechnung

Doch natürlich willst du auch Matrizen berechnen können.

Matrizen addieren und subtrahieren

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(01:29)

Zwei Matrizen A undB kannst du nur dann addieren oder subtrahieren, wenn beide Matrizen gleich groß sind. Als Ergebnis erhältst du erneut eine Matrix C derselben Größe. Ihre Einträge Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (22) entstehen aus den Summen bzw. Differenzen der beiden entsprechenden Einträge aus A und B.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (23)

Dann gilt:

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (24)

und

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (25)

Die beiden Matrizen A und C kannst du nicht addieren – wegen der unterschiedlichen Größen ist das nicht möglich.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (26)

Die Matrizenaddition ist außerdem kommutativ und assoziativ.

Matrix mal Zahl

Du kannst eine Matrix A mit jeder beliebigen Zahl r (auch Skalar genannt) multiplizieren, indem du jeden Eintrag von A einzeln mit r multiplizierst.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (27)

Matrix mal Vektor

Damit du eine Matrix-Vektor-Multiplikation zwischen der Matrix A und dem Vektor v durchführen kannst, muss die Spaltenanzahl von A mit der Länge von v übereinstimmen. Du kannst eine (m x n)-Matrix also mit jedem n-dimensionalen Vektor multiplizieren. Als Ergebnis erhältst du dann einen m-dimensionalen Vektor.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (28)

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (29)

Erläuterung der Rechung:

Da A so viele Spalten hat wie v Einträge, ist die Multiplikation hier möglich. Und weil A zwei Zeilen hat, erhältst du als Ergebnis einen zweidimensionalen Vektor. Um den ersten Eintrag des Ergebnisvektors zu erhalten, betrachtest du die erste Zeile von A und multipliziert den ersten Eintrag dieser Zeile mit dem ersten Eintrag von v, den zweiten Eintrag der ersten Zeile von A mit dem zweiten Eintrag von v und dasselbe mit dem dritten Eintrag der ersten Zeile von A und dem dritten Eintrag von v. Die Summe dieser drei Produkte ergibt den ersten Eintrag des Ergebnisvektors. Den zweiten Eintrag des Ergebnisvektors erhält man, wenn man für die zweite Zeile von A analog vorgeht.

Weitere Beispiele:

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (30)

Matrix mal Matrix

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(02:38)

Zwei Matrizen kannst du genau dann miteinander multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Immer dann also, wenn Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (31) und Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (32). Du erhältst dann als Ergebnis eine Matrix der Dimension (m x k).

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (33)

A hat genauso viele Spalten wieB Zeilen, also ist die Matrizenmultiplikation Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (34) durchführbar. Weil A zwei Zeilen und B zwei Spalten hat, erhältst du eine (2 x 2)-Matrix als Ergebnis.

Für den ersten Eintrag der ersten Spalte der Ergebnismatrix betrachtest du die erste Zeile von A und die erste Spalte von B. Dann gehst du vor wie bei der Matrix-Vektor-Multiplikation – du rechnest also „Zeile mal Spalte“.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (35)

Den ersten Eintrag der zweiten Spalte erhältst du, wenn du die erste Zeile von Aund die zweite Spalte von B betrachtest und die gleichen Rechenschritte durchführst.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (36)

Um den zweiten Eintrag der ersten Spalte der Ergebnismatrix zu berechnen, multipliziere die zweite Zeile von A mit der ersten Spalte von B.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (37)

Und für den zweiten Eintrag der zweiten Zeile der Ergebnismatrix multipliziere die zweite Spalte von A mit der zweiten Spalte von B.

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (38)

Das ist das Ergebnis der Matrizenmultiplikation Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (39).

Du solltest dabei aber immer bedenken, dass die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Beispielrechnungen:

Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (40)

Die Division, wie wir sie aus den reellen Zahlen kennen, ist mit Matrizen übrigens nicht möglich. Statt durch eine Matrix A zu dividieren, musst du mit ihrer Inversen Matrix Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (41) multiplizieren (falls es diese gibt).

Determinante

Jetzt kennst du dich mit der Bedeutung und der Berechnung von Matrizen aus. Für deine nächste Prüfung könnte es aber auch sehr hilfreich sein, dir unseren Artikel über Determinanten von Matrizen anzusehen.

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  • Matrizen addierenDauer:02:48
  • Matrizen multiplizierenDauer:03:16
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Matrizen • Matrizen multiplizieren, Transponierte Matrix (2024)

FAQs

How do you solve a matrix multiplication problem? ›

To perform multiplication of two matrices, we should make sure that the number of columns in the 1st matrix is equal to the rows in the 2nd matrix. Therefore, the resulting matrix product will have a number of rows of the 1st matrix and a number of columns of the 2nd matrix.

How to do matrix multiplication in Excel? ›

For matrix multiplication to work, the number of columns in array1 and the number of rows in array2 must be the same. Use CTRL+SHIFT+ENTER to multiply arrays and avoid null elements and text in matrices to prevent errors. The product array size depends on the number of rows in the first array and columns in the second.

How to transpose matrix multiplication? ›

To calculate the transpose of a matrix, simply interchange the rows and columns of the matrix i.e. write the elements of the rows as columns and write the elements of a column as rows.

What is the fastest method for matrix multiplication? ›

In linear algebra, the Strassen algorithm, named after Volker Strassen, is an algorithm for matrix multiplication. It is faster than the standard matrix multiplication algorithm for large matrices, with a better asymptotic complexity, although the naive algorithm is often better for smaller matrices.

How to solve a matrix quickly? ›

Step 1: Find the matrix of minors for the given matrix. Step 2: Transform the minor matrix so obtained into the matrix of cofactors. Step 3: Find the adjoint matrix by taking the transpose of the cofactor matrix. Step 4: Finally divide the adjoint of a matrix by its determinant.

What is the formula for matrix multiplication? ›

Matrix Multiplication by Scalar Quantity

Formula and notation for scalar matrix multiplication: If B=[bij]m×n is a matrix of order m × n and p is a scalar quantity, then pB=p[bij]m×n=[p(bij)]m×n is result of the scalar multiplication of the matrices. This is also known as multiplication of matrices by a constant.

How to memorize matrix multiplication? ›

A trick to help remember matrix multiplication is to rearrange the position of the matrices. It is important to keep in mind that two matrices A and B can be multiplied if and only if the number of columns of A is the same as the number of rows of B.

How do you manually multiply matrices? ›

Matrix Multiplication: Matrix multiplication is a series of dot products. First, we compute the dot product of the first row of the first matrix and the first column of the second matrix. Then we move right and compute the dot product of the first row of the first matrix with each of the columns of the second matrix.

Can Excel calculate matrices? ›

A: Excel offers built-in functions like MMULT for matrix multiplication. Start by using the MMULT function to multiply matrices. For solving linear equations, leverage MINVERSE to find the inverse of a matrix and MMULT for multiplication.

What are the rules for matrix multiplication? ›

To perform matrix multiplication, the first matrix must have the same number of columns as the second matrix has rows. The number of rows of the resulting matrix equals the number of rows of the first matrix, and the number of columns of the resulting matrix equals the number of columns of the second matrix.

What is an example of a transpose matrix? ›

The transpose of a row matrix is a column matrix and vice versa. For example, if P is a column matrix of order “4 × 1,” then its transpose is a row matrix of order “1 × 4.” If Q is a row matrix of order “1 × 3,” then its transpose is a column matrix of order “3 × 1.”

Why do we transpose a matrix? ›

The transpose of a matrix is obtained by changing the rows into columns and columns into rows for a given matrix. It is especially useful in applications where inverse and adjoint of matrices are to be obtained.

How to know if a matrix is elementary? ›

An elementary matrix is a matrix that can be obtained from the identity matrix by one single elementary row operation.

How to solve matrix step by step? ›

Step 1: Find the matrix of minors for the given matrix. Step 2: Transform the minor matrix so obtained into the matrix of cofactors. Step 3: Find the adjoint matrix by taking the transpose of the cofactor matrix. Step 4: Finally divide the adjoint of a matrix by its determinant.

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